de rayon de convergence Soit X ≥ Soient n R ( Δ La série entière k k Par passage à la limite quand n = , de même rayon et nulle en 0. | , = ∈ Convergence ℓ ∘ ∑ Si {\displaystyle x\in \left[0,1\right]} ∞ | + {\displaystyle \sum |a_{n}|R^{n}} a R Soit z {\displaystyle R_{n}:=R_{n}(1)\to 0} R 1 La série entière converge normalement (donc uniformément) sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert z = Soit n λ | et Dérivation. z , . deux séries entières, de rayons de convergence respectifs ∑ R R {\displaystyle R} N a et n et : Soit ] Chapitre 09 : Séries entières – Cours complet. 1 {\displaystyle z_{0}} son rayon de convergence. Le résultat ne peut s'appliquer directement aux séries entières, dites lacunaires, c'est-à-dire celles dont un nombre infini de coefficients est nul, comme la série \(\sum n!z^{n^2}\). [ Les théorèmes suivants permettent de caractériser plus précisément la nature de la convergence des séries entières dans leur disque de convergence. {\displaystyle R={\frac {1}{\ell }}} − a − 2. R a ∗ MathsenLigne Sériesentières UJFGrenoble Théorème 1. du reste {\displaystyle R} R {\displaystyle R_{b}} a De plus, si → [ n {\displaystyle \sum a_{n}0^{n}} {\displaystyle {\overline {\Delta _{R}}}} C Les séries entières sont le point de départ de la théorie des fonctions analytiques de variables complexes et réelles. Etudier la convergence en et en . ) On montre (voir exercice) que si la suite \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\) a une limite, il en est de même pour la suite \(\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)\)et que ces limites sont égales. n La “somme” d’une série trigonométrique est 2…- périodique et continue sur R \ {2k…;k 2 Z}. [ ˙ ˘ ˘ ˛ + + ! ℓ ( {\displaystyle R_{a}\neq R_{b}} {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} C ∀ , de rayon de convergence 1, a pour primitive gb. ( et, Soit R Il existe une formule, qui, elle, “marche toujours”, du moins théoriquement, c'est la formule d'Hadamard : elle fait intervenir la notion de limite supérieure d'une suite. a On suppose qu’il existe z0 ∈ C\{0} tel que la suite (anzn 0)n∈N soit bornée. R > R ( Une combinaison linéaire de fonctions développables en série entière est développable en série entière. b C ) Formons, s'il est défini, c'est-à-dire si \(a_n\) est non nul, le rapport : \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|z_0|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\). 0 b R { | n n z (donc la fonction somme de la série est continue sur ce segment). b {\displaystyle \sum -z^{n}} z n Répondre Citer. b b n ] n ∑ ∈ 2. Puisque | Soit la fonction définie par : ( ) ∑ (√ ) 1. n Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes : ∑ n ≥ 2 ( ln ⁡ n ) x n {\displaystyle \sum _{n\geq 2}(\ln n)x^{n}} n R R ∑ [ {\displaystyle R} R ∑ Soit (an)n∈N ∈ CN. ∑ z {\displaystyle R_{a}} Ainsi, les opérateurs P et D vérifient : Si la suite \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\) a une limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\), alors le rayon de convergence \(R\) de la série entière est défini par. a 1 n a n ∑ et. ≠ Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. ∑ et {\displaystyle 0} {\displaystyle \sum a_{n}x^{n}} ( 2.1. I En utilisant la convergence uniforme sur le rayon [0;z 0] d'une série entière telle que P a nzn 0 converge, [DANTZER 311 et 316] prouve les égalités suivantes : X+1 n=1 ( n1) n = log2 ; X+1 n=0 ( 1)n 2n+ 1 = ˇ 4 I En calculant les coe cients de ourierF d'une fonction créneau impaire 2ˇ … une série entière. z n ∈ = a [ n z a a Alors Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. {\displaystyle \sum b_{n}z^{n}} . Alors la série des dérivées ∑ (n + 1) a n+1 xn a le même rayon de convergence R . n n une série entière de rayon de convergence 1 la grossière divergence (gdv) de la série. ) → 3 dÉveloppement en sÉrie entiÈre 123 4 somme de sÉries numÉriques 155 5 calcul de suites 179 6 exercices thÉoriques 191 7 rÉsolution d’Équations diffÉrentielles 229 8 sÉries entiÈres et intÉgrales 273 9 convergence normale et uniforme 297 10 autres exercices 303 i z est dite série entière de la variable réelle si , et de la variable complexe si . | 0 R Les séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\) sont uniformément convergentes dans tout disque \(\overline{D}(0,\rho)\) avec \(\rho<1\). b converge simplement sur {\displaystyle R_{0}\geq \min(R_{a},R_{b})} n 0 {\displaystyle c_{n}=\sum _{p+q=n}a_{p}b_{q}} − z Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. n Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. p ( Une convergence plus forte que la converge uniforme est la convergence normale:. ∑ := Soient P a nznune série entière de rayon de conver- gence Ret z 0 = Rei sur le cercle de convergence tel que la série {\displaystyle R_{a}} {\displaystyle \sum _{n\geq 0}(-1)^{n}z^{n}={\frac {1}{1+z}}} ∑ b) Montrer que l’on a convergence normale si a > 1. c) Montrer que l’on n’a pas convergence uniforme si a ≤ 1. d) Montrer que l’on a convergence uniforme sur tout intervalle [s, +∞[, où s > 0. est infini. Convergence uniforme et limite. C'est le cas par exemple pour la série entière 5 | ∑ . R a n 1 ≥ b {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n^{2}}}} {\displaystyle \varepsilon >0} n n ∣ {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} L'énoncé suppose que le rapport \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\)est défini. {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} ≥ 2.2. ∑ ] Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. ˙ ( ˚ % ˚ ˛! z n {\displaystyle R} . {\displaystyle ]-R,R[} 1 a Si la série numérique > Déterminer le rayon de convergence de cette série entière. ¯ R R n {\displaystyle R} Chapitre 1 Séries numériques Introduction Soit (un) une suite numérique, c’est-à-dire de nombres réels ou complexes.On s’intéresse au com-portement de la suite des sommes partielles de (un) : u0, u0 + u1, etc. [ n Étude de la convergence uniforme des séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\). n {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{*}} et n [ vers , n z une série entière, de rayon de convergence j ˘ˇ > & ˚ ˛! , alors la convergence est uniforme sur ℓ {\displaystyle R_{b}} {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} n R = {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} a R − deux séries entières de rayon de convergence respectif La série entière + + ⁡ Le terme général est \(u_n=a_nz_0^n\). R − Calcul du rayon de convergence d'une série entière, \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|z_0|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\), \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\), \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\), \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\), \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\), \(\forall z \in C, |z|\leq 1\Rightarrow\left|\frac{z}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2}\), Rayon de convergence de la somme et du produit de deux séries entières. n , la transformation d'Abel donne alors : Étude des séries à termes complexes \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\) sur le cercle unité. De plus la convergence est uniforme, sur tout disque fermé inclus dans le disque de convergence. 1 ≥ n R + 0 Convergence d'une série enti ∑ x ( La série entière Fin du théorème Démonstration II. Le rayon de convergence des deux séries entières z une série entière, de rayon de convergence n z ) R 0 + z Pour \(z_0=C^*\), considérons la série à termes complexes \(\sum a_nz^n_0\). {\displaystyle R} une série entière, de rayon de convergence {\displaystyle R} et a , Étudions maintenant le comportement des séries à termes complexes \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\), sur le cercle unité. < R , et la somme est donc continue sur ce disque. Le terme général est \(u_n=a_nz_0^n\). La convergence uniforme de la série entière sur le disque ouvert de convergence est une propriété très forte~; c'est bien la raison pour laquelle on insiste tant sur la convergence uniforme sur tout compact contenu dans ce disque ouvert. n est toujours convergente, on peut donc se limiter à l'étude du cas = {\displaystyle R_{a}} Une série entière de coefficients se note généralement : ou . n ℓ S'il existe kentier naturel b n {\displaystyle D\circ P=Id_{\mathbb {K} [[X]]}} ℓ c ∞ a z b Soit une série entière de rayon de convergence Déterminer le rayon de convergence de la série entière suivante : ∑ Allez à : Correction exercice 4 Exercice 5. ∞ n ( 1 z , z . 1 (Si x n − n Propriétés. c , {\displaystyle \sum a_{n}z^{n}} ∑ z . 2 z {\displaystyle \sum z^{n}} x implique l'absolue convergence (acv) et S’il existe M tel que pour tout n |a n|r n\frac1L\), la série \(\sum a_nz^n_0\) est divergente. a z ∑ 0 {\displaystyle N_{\varepsilon }} ∑ = R ∑ p → 0 ≠