Représentation d’une application linéaire. sur le vecteur b) Ecrire la matrice de fdans la base canonique B 1 = (E 11;E 12;E 21;E 22) de M 2(R). Pour bien comprendre, il faut que tu aies lu le chapitre sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, sinon tu risques de ne pas comprendre le vocabulaire employé. et s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base Dé nition7 Application linéaire canoniquement associée à une matrice Soit A2M n;p(R) une matrice de nlignes et pcolonnes. Coordonnées de l’image d’un vecteur. . C'est l' application linéaire canoniquement associée à A Soit X un vecteur colonne exprimé dans une base B. —. f(e2) = -8e’1 + 5e’2 et si La notation ( et ) signifie que l'on considère l'espace vectoriel Dans un tel cas, on dit que les matrice A et B sont équivalentes car elles représentent la même application linéaire mais dans des bases différentes. On peut transformer la matrice d’une application linéaire en une autre matrice de la même application linéaire mais dans une autre base. Si on note ϕ l’application canoniquement associée à A et Bp et Bn, les bases cano-niques respectives de Kp et Kn, alors : A =MatB p,Bn(ϕ) Exemple : Soit ϕ l’application linéaire canoniquement associée à la matrice 1 0 1 1 −1 1 . Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les matrices. Montrer que : (est injective si et seulement si ker )={0 }. Voyons tout d’abord la formule de la multiplication de matrices sous forme générale (on a vu ci-dessus ce que cela donnait avec la matrice identité) : Comme tu le vois, au niveau des bases c’est comme précédemment avec le pseudo-principe de Chasles. Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ? On appelle matrice associée à l'application linéaire B = P-1AP a) Montrer que fest une application lin eaire. En effet : On retrouve une « sorte » de principe de Chasles mais : (B2;B1)(B3;B2) → (B3;B1) (attention cette notation est à faire uniquement au brouillon, elle n’est pas valable mathématiquement). On prend la base canonique de E : (1, X, X2, X3), et on définit l’application f par : Pour trouver la matrice de f dans la base B, il faut calculer l’image de chaque vecteur de la base : f(1), f(X), f(X2) et f(X3) : Vérifions en calculant Q-1AP que l’on va simplifier avec le principe vu précédemment : Si on multiplie cette égalité par Q à gauche et P-1 à droite, on obtient : Ainsi on a pu transformer la matrice A de l’application f exprimée dans une base, à une autre matrice B de la même application mais exprimée dans une autre base, uniquement en multipliant par des matrices de passage ! —. e’1 = 7e1 + e2 – 4e3 Calculer ( ) pour ∈ En effet cette matrice a un nombre de lignes égal à la dimension de l'espace d'arrivée de Classification [CG] Sur les complexes, les réels et les corps finis. 2) = (c;d) avec la matrice A= a c b d . Il est donc déterminé de façon unique par ses coordonnées dans la base de Décomposition polaire [CG, G] 5. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 2 On dit que u ∈L(K2,K3) est l’application linéaire canoniquement associée à la matrice A. et -ème colonne de la matrice associée à par rapport aux bases En effet : Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ? En effet, comme Id(e’i) = e’i pour tout i, on peut faire le parallèle avec ce que l’on a vu sur les applications linéaires en début de chapitre : P est est donc bien la matrice de l’application identité en partant de la base B’ pour arriver dans la base B : — et est un entier compris entre Des bases étant choisies respectivement dans Représentation d’une application linéaire. Comme tu le vois, ce sont les deux bases aux extrémités qui doivent être égales, et le résultat donne les deux bases du centre mais inversées… ce sera plus clair dans les vidéos, — Comme f Id = f et Id f = f, on aura par la suite ce genre de formule : Après ce petit prélude, rentrons désormais dans le vif du sujet ! , varie entre Soit : → une application linéaire et un réel. La matrice A, relativement aux bases B et B’, notée MatB, B’(f) est : Comme tu le vois, chaque colonne correspond aux coordonnées de f(e1), f(e2) et f(e3), c’est-à-dire les images des vecteurs de la base de l’espace de départ. Soit =ker( − ). deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps une matrice de M 2(R) et soit f : M(R) !M(R) l’application d e nie par f(M) = AM MApour toute matrice M 2M 2(R). Soient B=(e1,e2, e3) une base de E et v le vecteur de E tq v=e1-e2+e3. et une base de Propriétés. Application linéaire associée à une matrice. Ce cours est simplifié au maximum pour que tu puisses comprendre et réaliser les exercices. colonnes de terme général Application : loi de réciprocité quadratique. Tu sais que car h est linéaire Donne-moi une matrice A qui marche pour voir si tu as compris. Si tu as un cours sur la matrice d'un endomorphisme dans une base, tu peux y lire que ses colonnes sont les coordonnées (*) des images des vecteurs de la base. Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. On peut donc poser P la matrice de passage de B1 dans B’1 et Q la matrice de passage de B2 dans B’2 : D’après ce schéma, au lieu de faire directement B pour aller de B’1 dans B’2, on peut passer par B1 (en multipliant par P), puis par B2 (en multipliant par A) puis revenir à B’2 (en multipliant par Q-1), ce qui donne Q-1AP (et non PAQ-1… et oui, il faut inverser comme on l’a vu précédemment…). (mais bien sûr mathématiquement ce n’est pas correct de dire ça, c’est juste pour comprendre^^). On pose : Ici B1 et B’1 sont des bases de E, B2 et B’2 sont des bases de F. A = PBP-1 f(X) = 2 x 1 – X = 2 – X Les matrices de passage Et cette matrice existe tout le temps, P est nécessairement inversible car si on a 2 bases, on peut toujours passer de l’une à l’autre. . par rapport aux bases . Ce pseudo principe de Chasles s’effectue avec la notation car, comme vu précédemment, les bases ne sont pas dans le même ordre selon que l’on parle de la notation ou du principe du passage d’une base à une autre. . scalaires ou relativement aux bases Remarquons immédiatement qu'il est nécessaire de mettre deux indices pour identifier ces scalaires : - le deuxième indique qu'il s'agit des coefficients de la décomposition de La matrice de passage possède quelques particularités que tu dois connaître. . Je veux exprimer ce vecteur dans une autre base B’, on note ce nouveau vecteur X’. Soit la dimension de et une base de . 2. 4. Par ailleurs, comme B et B’ sont des bases d’un même espace, elles ont même dimension, donc P est nécessairement une matrice carrée de taille n, avec n la dimension de l’espace considéré. Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée, Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : Soit Entraîne-toi sur plusieurs exemples c’est la meilleure solution pour ne pas te tromper le jour J ! et . Exemple : supposons que l’ont ait : Calcul matriciel : matrice et espaces vectoriels. La matrice A, relativement aux bases B et B’, est notée MatB, B’(f). muni de la base est un vecteur de Sur ce même principe, on peut combiner matrice de passage et matrice d’application linéaire. Une matrice de passage P est toujours inversible et si P est la matrice de passage de B dans B’, alors P -1 est la matrice de passage de B’ dans B. Bonjour à toutes et à tous, Je suis bloqué dans un exercice d'applications linéaires. Soit x ∈ E. Comme B est une base de E, on peut décomposer x de manière unique dans cette base : il existe a1, a2 et a3 tels que : Pour connaître f(x) il suffit donc de connaître f(e1), f(e2) et f(e3), qui sont définis dans la matrice. et , indique que a_{i,j} est la coordonnée de Soient Pour calculer X’, il me faut la matrice de passage de B’ vers B : MatB,B’(Id) : Tout cela sera évidemment beaucoup plus simple quand tu auras fait les exercices. —. Théorème (Matrice dans les bases canoniques de l’application linéaire canoniquement associée à une matrice) Soit A ∈Mn,p(K). Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. ou dans les bases est entièrement déterminée par les — e’3 = -3e1 + 6e2 + 5e3. De la même manière que ce que l’on a vu ci-dessus, chaque colonne représentera les coordonnées d’un nouveau vecteur dans l’ancienne base : On complète ensuite par colonne par rapport à ce qui est donné dans l’énoncé. dans On peut l’indentifier à l’application linéaire ˜u: M2,1(K) →M3,1(K) définie par ˜u(X) = AX. Elle sera utilisée dans toute cette ressource. TROUVER LA MATRICE ASSOCIÉE À UNE APPLICATION LINÉAIRE DONNÉE ... On conclut donc que est bien linéaire, omme l’image d’une om inaison linéaire est égale à la combinaison linéaire … e3 = 01 + 0e2 + 1e3 L'étude des propriétés des applications linéaires entre deux espaces de type fini permet d'affirmer que : - l'application linéaire Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases Soient et deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps . Si on note Abl’application linéaire canoniquement associée à A et Bp et Bn les bases canoniques respectives de Kp et Kn, alors : A=Mat Bp,Bn bA. choisie, ce que l'on peut expliciter de la manière suivante : si e1 = 1e1 + 0e2 + 0e3 Tout d’abord, de par sa définition, P correspond à la matrice de l’application identité (Id) de la base B’ dans la base B. Notons B l’ancienne base et B’ la nouvelle base. du vecteur Mais si on veut la matrice de passage de B’ dans B… on fait tout simplement P -1 ! et . Une question qui revient souvent au contrôle continu ou en devoir: écrire la matrice A d'une application f dans une base. f(X3) = 2 x 3X2 – X3 = 6X2 – X3. Exercice 1. une application linéaire de — Attention ! Remarque : pour les applications, comme f, la notation respecte l’ordre des bases. Supposons que l’on ait 3 bases B1, B2 et B3, ainsi que P1 matrice de passage de B1 dans B2, et P2 matrice de passage de B2 dans B3 : Si je fais P1 x P2, j’obtiens la matrice de passage… de B1 dans B3 ! Mat(f) x Mat(g) → Mat(f g) et non Mat(g f). Soit une application linéaire de vers . . Donc cette application est la réciproque de .. Un automorphisme de est une application linéaire qui envoie une base de sur une autre base. Contrairement aux matrices des applications linéaires vues plus hauts, l’ordre dans la notation est inversé : P est la matrice de passage de B dans B’ MAIS elle est notée MatB’,B(Id)… et On désigne par f l'application linéaire de E vers E tq pour tout vecteur x de E: f(x)=x-2(x1+x2+x3)v où (x1, x2, x3) sont les coordonnées de x dans la base B. Je dois écrire la matrice A de f dans la base B. et un nombre de colonnes égal à la dimension de l'espace de départ de ce qui "prouve" qu'à une matrice donnée ne peut correspondre qu'une seule application linéaire (même en faisant varier les bases) or je vois bien que ce résultat est faux et donc qu'il y a une erreur dans ma "démonstration", mais je ne vois pas où :'-( e2 = 0e1 + 1e2 + 0e3 ngest une famille g en eratrice (ou une base) de E. Pour d e nir une application lin eaire sur E, il su t donc de d e nir les images des vecteurs d’une base de E. D e nition 5 { Soient Eet F deux espaces vectoriels de dimension nie et f2L(E;F). f(e1) = 3e’1 + 4e’2 Image des vecteurs de la base de E. Matrices associées à f+g et à kf 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A Théorème 1 : Soit A ∈Mn,p(K). Re : Matrice associée à un application linéaire (dérivation d'un polynôme) Bonjour. (x;0) qui est la projection orthogonale Notes de cours S2 PeiP année 2014-2015 Michel Rumin Nous verrons que pour les matrices de passage l’ordre est inversé… + y p u ′ p F , on note X ℬ = [ x j ] 1 ≤ j ≤ n et Y ℬ ′ = [ y i ] 1 ≤ i ≤ p les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs x … Vocabulaire : on dit aussi que c'est la matrice de 62 CHAPITRE 3 3M renf – Jt 2020 3.2 Matrice associée à une application linéaire Exemple dans IR 2: 5 cos e 1 12 Commençons par un exemple important.On considère le vecteur colonnes dont la L’application correspondant à la multiplication des 2 matrices sera la composée des autres applications mais en gardant le même ordre !! De même pour P x P -1. Retour au sommaire des coursRemonter en haut de la page. —, Mais attention !!! 1. Prenons par exemple un espace de dimension, et posons : , il existe 3. et Matrice associée à une application linéaire. s'écrit : la On se place dans l’espace E = K3[X], l’ensemble des polynômes de degré inférieure ou égal à 3. par rapport aux bases —. conformément à la définition précédente. Déterminer si les applications suivantes (de Ei dans Fi ) sont linéaires. Noyau et image de f. Problèmes. — lignes et Alors il existe une unique application linéaire fqui av de Rp dans Rn qui est représentée par la matrice A dans les bases canoniques de Rn et Rp. + x n u n E et y = y 1 u ′ 1 + . Pour savoir laquelle, le principe ressemble plus ou moins au principe de Chasles mais avec un piège ! Ensuite, pour la matrice B, c'est facile, tu changes de base (avec une matrice de passage par exemple. Si ψ est une deuxième application linéaire de F dans un troisième espace vectoriel G de base D alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ∘φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. Noyau et image de f. Problèmes. —. Savoir calculer avec des matrices : somme, produit, déterminant. Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases. Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Exemple L’application f χ −→ Z 1 0 f t2 dt est linéaire de C [0,1],R dans R. Démonstration Les applications f −→f t −→t2 et f −→ Z 1 0 f (x)dx sont linéaires, donc χaussi par composition. — la dimension de Posons E 11 = 1 0 0 0 ;E 12 = 0 1 ;E 21 = 0 0 0 1 ;E 22 = 0 0 0 1 . Cela va donner une autre matrice de passage d’une base à une autre. par rapport aux bases. Montrer que (x0,f(x0),f2(x0)) est une base de E. (Q 3) Quelle est la matrice de fdans cette base? coefficients Soit Donc, l'application linéaire , il y a unicité de la matrice associée à Exercice : Matrice associée à une application linéaire Notation matricielle et systèmes linéaires Pour tous x = x 1 u 1 + . Le type de la matrice associée à l'application linéaire Application linéaire associée à une matrice. Exemple n°6 . Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : Remarque : la plupart du temps, on aura B1 = B2 et B’1 = B’2, ce qui donnera P = Q ! Voyons un exemple d’application concret. f(1) = 2 x 0 – 1 = -1 . L1 Algèbre linéaireDans cette vidéo on se donne une application linéaire et on explique comment fabriquer sa matrice. L'application de L(E, F) dans M m,n (K) qui à chaque φ associe sa matrice dans (B, C) est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Introduction Ce qui est cohérent avec le fait que P x P-1 = Id (heureusement !). uniques. En effet, une application est entièrement définie si on connaît l’image de tous les vecteurs de l’espace de départ. Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. soit f une application linéaire de E dans F (E et F sont des espaces vectoriels). Ainsi, la matrice de f dans la base B est : Une matrice de passage, souvent notée P (comme Passage), est une matrice qui détermine comment passer d’une base d’un espace à une autre base du même espace. — et Si f est une application linéaire de E vers F et α un scalaire, notons αf l'application de E vers F qui, à tout v de E associe α.f(v).On définit ainsi une loi de composition externe dans l'ensemble, noté L(E,F), des applications linéaires de E vers F. Muni, de cette loi et de l'addition des applications, L(E,F) est un espace vectoriel sur K. Matrice associée à une application bilinéaire et à une forme quadratique. f(X2) = 2 x 2X – X2 = 4X – X2 et On peutmême«écraser»lerepère.Parexemple,lamatrice A= 1 0 0 0 est associée à l’application linéaire p: (x;y) 7! . et pour chacun d'eux, il y a de Exercice 2. De plus, on a dit que P était la matrice de passage de B dans B’. Déterminer une matrice associée à une application linéaire. et de celle de Calculs avec les matrices de passage est déterminée de façon unique par l'image d'une base de Représentation d’une application linéaire Supposons que l’on ait une application linéaire f de E dans F. Remarque : si l’espace vectoriel de départ est le même que l’espace d’arrivée (et donc même base de départ et d’arrivée), on pourra écrire MatB(f) à la place de MatB, B(f). e’2 = 8e1 – 2e2 + 9e3 ). Ce n’est pas n’importe quelle matrice de passage, et il faut bien appliquer le pseudo-principe de Chasles vu précédemment pour savoir si on multiplie par P ou P-1, à gauche ou à droite etc…. Il faut trouver les propriétés de l’application linéaire f associée à chacune de ces matrices.