Transformations linéaires. ... sur les lignes des matrices qui nous seront fort utiles et ce, sans changer son rang : P1. - 2 - Définition 6.1 et théorème 6.1 : les espaces vectoriels de matrices Définition 6.2 : produit de matrices Théorème 6.2 : structure de groupe et d’algèbre pour Mn(K) Définition 6.3 : matrice transposée d’une matrice Définition 6.4 : … La matrice colonne 1 0 −1789 sera dite (dans quelques paragraphes) associ´ee au vecteur upr´ec´edent dans la base canonique de R3. D´efinition 2 On fixe net pdes entiers >0. Les opérations mathématiques sur les matrices font l'objet de l'algèbre linéaire. 1. Les matrices ´el´ementaires de type (n,p) sont les matrices Pour (k,l)∈ J1,nK×J1,pK, le coefficient ligne k, colonne l de la matrice Ei,j, est donc égal à 1 si et seulement si k =i et l =j et est égal à 0 sinon. Les matrices Ei,j sont les matrices élémentaires. 1. 3.2. Matrices. Partout où c'est possible, on mentionne des choses élémentaires hors programme : formule de Laplace sur det(A+B),matrices de Kac, de Hua ou d'Ho mann, angles d'Euler, l'exponentielle d'un endomorphisme et sa dif- Chapitre 04 : Algèbre linéaire – Cours complet. (n,p) dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient ligne i, colonne j, qui est égal à 1. etF= −1 5 3 5! La somme de A et B est la matrice, notée A + B, dont les coefficients sont obtenus en additionnant deux à deux des coefficients qui ont la même position dans A et B. Exemple : Définition 4 Soit A et B deux matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes, c’est à dire la même dimension, on dit que A = B si tous les éléments de A sont égaux aux éléments correspondantsdeB. Il s'agit à nouveau de suivre les étapes d'une expansion par cofacteurs : Nous pouvons permuter les lignes. Le groupe diédral Dn des transformations orthogonales de R2 préservant les sommets d’un polygone régulier à n côtés centré à l’origine est un sous- Géraldine Ménéxiadis Page 2/7 Opérations sur les matrices. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 2 II. Pour les lignes : on utilisera icomme indice courant et npour le nombre de lignes 2. D´efinition 2 : Op´erations sur les matrices Le symbole de multiplication, * , désigne la multiplication matricielle, c’est-àdire les produits entre les lignes de la première matrice et les colonnes de la deuxième. Types de matrices. 2. 1. 4° Soit n un entier ˚ 2. Donnonsnous deuxvecteurs v1 = … 3.1. 3. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES 9 3° Le groupe On(R) des matrices M de taille n £n réelles orthogonales (c’est-à-dire qui satisfont t MM ˘In) est un sous-groupe du groupe GLn(R). Opérations sur les matrices 1) Somme de matrices Définition : Soit A et B deux matrices de même taille. On est constamment amené à les imiter dans les exercices et les applications. Systèmes linéaires. Exemple4 Ondonne:E= 2x+3 5 3 −2y−4! Page 8 sur 9 11‐ Déterminants de matrices carrées de dimensions 4x4 et plus Les méthodes présentées dans le cas des matrices 33 demeurent valides pour toutes les dimensions supérieures. •On d´efinit de mˆeme les matrices-colonnes (p= 1). Ne sautez jamais une ligne, tout est essentiel. Interprétation géométrique du déterminant On va voir qu’en dimension 2, les déterminants correspondent à des aires et en dimension 3 à des volumes. COURS SUR L'ALGÈBRE LINÉAIRE. Pour les colonnes : on utilisera jcomme indice courant et ppour le nombre de colonnes Un coefficient sera not´e aij, le premier indice ´etant l’indice de ligne et le second ´etant l’indice de colonne. 1.3. qui s’appliquent aux matrices carrées de toute taille et donc aussi aux matrices 3 3.